Exercícios de Série de Fourier
1 - indique o período das funções abaixo:
1. s = 3 \operatorname { cos } 5 t
Podemos usar a relação \omega T=2\pi onde nosso \omega = 5 e o período desse função ocorre quando t = T, então:
5T=2\pi \Rightarrow T=\dfrac {2\pi }{5}
2. s = 2 \operatorname { sin } ( 4 t - 1 )
Aqui, seguiremos com a mesma relação do primeiro exercício, sabendo que -1 representa uma diferença de fase desta função, não alterando seu período, logo:
\omega T=2\pi \Rightarrow 4T=2\pi \Rightarrow T=\dfrac {2\pi }{4} \Rightarrow T=\dfrac {\pi }{2}
3. s = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { cos } ( \pi t - 8 )
\omega T=2\pi \Rightarrow \pi T=2\pi \Rightarrow T=2
4. s = 5 \operatorname { sin } ( t - \pi )
\omega T=2\pi \Rightarrow T=2\pi
7. z = 5 e ^ { i t }
Para melhor visualizar, podemos pensar na função z em sua forma 5 e ^ { i t } = 5\left( \cos t+i\sin t\right) , o que queremos analisar aqui, portanto, para definir o período dessa função, são os argumentos que acompanham i no expoente:
\omega T=2\pi \Rightarrow T=2\pi
8. z = 2 e ^ { - i t / 2 }
\omega T=2\pi \Rightarrow \dfrac {1}{2}T=2\pi \Rightarrow T=4\pi
9. z = 2 e ^ { i \pi t }
\omega T=2\pi \Rightarrow \pi T=2\pi \Rightarrow T=2
10. z = - 4 e ^ { i ( 2 t + 3 \pi ) }
\omega T=2\pi \Rightarrow 2T=2\pi \Rightarrow T=\pi
2 - Obtenha os coeficientes Cn da série de Fourier complexa definida por:
f ( x ) = \sum _ { - \infty } ^ { \infty } c _ { n } e ^ { i n \pi x / l }
*Dica: multiplique ambos os lados pela exponencial do lado direito, mas com argumento negativo e inteiro m, e integre em ambos os lados.*
Queremos ver como encontrar os coeficientes na forma complexa diretamente. Nós assumimos uma série
f ( x ) = c _ { 0 } + c _ { 1 } e ^ { i x } + c _ { - 1 } e ^ { - i x } + c _ { 2 } e ^ { 2 i x } + c _ { - 2 } e ^ { - 2 i x } + \ldots = \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } c _ { n } e ^ { i n x }
e tente encontrar os c_n . De (**5.4**) sabemos que o valor médio de e^{ikx} em (-\pi,\pi)
é *zero* quando k é um inteiro diferente de *zero*. Para encontrar c_0 , encontramos os valores médios dos termos em (7.2):
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) d x = c _ { 0 } \cdot \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d x + \left\{ \begin{array} { l } { \text { valores médios dos termos da } } \\ { \text { forma } e ^ { i k x } \text { com } k \text { um iteiro } \neq 0 } \end{array} = c _ { 0 } + 0 \right. ,
c _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) d x
Para encontrar c_n, multiplicamos (**7.2**) por e^{-inx} e novamente encontrar o valor médio de cada termo. Observe o sinal de menos no expoente. Ao calcular um coeficiente de \cos nx na equação (**5.1**), multiplicamos por \cos nx; mas aqui em encontrar o coeficiente cn de e^{inx}, nós multiplicamos pelo complexo conjugado e^{-inx}.
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) e ^ { - i n x } d x = c _ { 0 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } d x + c _ { 1 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } e ^ { i x } d x
+ c _ { - 1 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } e ^ { - i x } d x + \cdots
Os termos à direita são os valores médios de exponenciais e^{ikx}, onde os valores de k são inteiros. Portanto, todos esses termos são *zero*, exceto aquele em que k = 0; este é o termo que contém c_n. Nós então temos
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) e ^ { - i n x } d x = c _ { n } \cdot \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } e ^ { i n x } d x = c _ { n } \cdot \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d x = c _ { n } ,
c _ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) e ^ { - i n x } d x .
3 - Mostre que as funções sen e cos são ortogonais, isto é, mostre que:
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \operatorname { sin } m x \operatorname { cos } n x d x = 0
\int _ { - \pi } ^ { \pi } \operatorname { sin } m x \operatorname { cos } n x d x = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { e ^ { i m x } - e ^ { - i m x } } { 2 i } \cdot \frac { e ^ { i n x } + e ^ { - i n x } } { 2 } d x
Podemos ver o resultado sem realmente multiplicar isso. Todos os termos no produto são da forma e ^ { i k x } onde k é um inteiro \neq 0 (exceto para os termos de produtos cruzados quando n = m, e estes cancelam). Podemos mostrar que a integral de cada termo é zero:
\int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { i k x } d x = \frac { e ^ { i k x } } { i k } | _ { - \pi } ^ { \pi } = \frac { e ^ { i k \pi } - e ^ { - i k \pi } } { i k } = 0
porque e ^ { i k \pi } = e ^ { - i k \pi } = \operatorname { cos } k \pi (desde que \operatorname { sin } k \pi = 0).
4 - Mostre que:
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \operatorname { sin } m x \operatorname { sin } n x d x = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { m \neq n } \\ { \frac { 1 } { 2 } , } & { m = n \neq 0 } \\ { 0 , } & { m = n = 0 } \end{array} \right.
\sin mx \sin nx \Rightarrow \left( \dfrac {e^{imx}-e^{-imx}}{2i}\right) \left( \dfrac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right) \Rightarrow
\Rightarrow \dfrac {e^{ix\left( m+n\right) }-e^{ix\left( m-n\right) }-e^{-ix\left( m-n\right) }+e^{-ix\left( m+n\right) }}{-4} \Rightarrow
\Rightarrow \frac{\cos x\left( m+n\right) +i\sin \times \left( m+n\right) -\cos x\left( m-n\right) -i\sin x\left( m-n\right) -\cos x\left( m-n\right) +i\sin x\left( m-n\right) +\cos x\left( m+n\right) -i\sin x\left( m+n\right) }{-4}
\Rightarrow \dfrac {2\cos x\left( m+n\right) -2\cos x\left( m-n\right) }{-4} \Rightarrow
\Rightarrow \dfrac {\cos x\left( m-n\right) -\cos x\left( m+n\right) }{2} \Rightarrow
\Rightarrow \dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos x\left( m-n\right) -\cos x\left( m+n\right) }{2}dx \Rightarrow \dfrac {1}{2\pi }\left[ \int ^{\pi }_{-\pi }\frac{\cos x\left( m-n\right)}{2} dx-\int ^{\pi }_{-\pi }\frac{\cos x\left( m+n\right)}{2} dx\right]
Para m \neq n temos m + n = k e m - n = l, sendo k e l inteiros, então:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos lx}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos kx}{2}dx
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin lx}{2l}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi}
Para todo valor de l e k:
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin lx}{2l}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi} = 0
Para m = n \neq 0 temos m + n = k e m - n = 0, sendo k um inteiro, então:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos 0}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos kx}{2}dx
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {1}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos kx}{2}dx
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {x}{2}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi}
Para todo valor de k:
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {x}{2}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi} = \frac{1}{2}
Para m = n = 0 temos m + n = 0 e m - n = 0, então:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos 0}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos 0}{2}dx = 0
5 - Mostre que o coeficiente a_0/2 da expansão de f(x) em série de Fourier é seu valor médio:
f\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+a_{2}\cos x+a_{2}\cos 2x+\ldots +b_{1}\sin x+b_{2}\sin 2x+\ldots
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi }f\left( x\right) dx = \dfrac {a_{0}}{4\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx+\dfrac {a_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\cos xdx+\ldots +\dfrac {b_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\sin xdx
\dfrac {a_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\cos xdx+\ldots +\dfrac {b_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\sin xdx = 0
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi }f\left( x\right) dx = \dfrac {a_{0}}{4\pi }\left[ x\right] ^{\pi}_{-\pi}
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi }f\left( x\right) dx = \dfrac {a_{0}}{4\pi }2\pi = \dfrac{a_0}{2}
6 - Mostre a Identidade de Parseval:
\frac { 1 } { L } \int _ { - L } ^ { L } \{ f ( x ) \} ^ { 2 } d x = \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { n } ( a _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ^ { 2 } )
Vamos agora encontrar uma relação entre a média do quadrado (ou quadrado absoluto) de f (x) e os coeficientes da série de Fourier para f (x), supondo que \int _ { - \pi } ^ { \pi } | f ( x ) | ^ { 2 } d x é finito. O resultado é conhecido como o *teorema de Parseval ou a relação de completude*. Você deve entender que o ponto do teorema não é obter a média do quadrado de um dado f (x) usando sua série de Fourier. \[Dado $f (x)$, é fácil obter seu quadrado médio apenas fazendo a integração em (**11.2**) abaixo.] O ponto do teorema é mostrar a relação entre a média do quadrado de $ f (x) $ e os coeficientes de Fourier. Podemos derivar uma forma do teorema de Parseval de qualquer uma das várias expansões de Fourier que fizemos; vamos usar (**5.1**).
$$ f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } + \sum _ { 1 } ^ { \infty } a _ { n } \operatorname { cos } n x + \sum _ { 1 } ^ { \infty } b _ { n } \operatorname { sin } n x $$
Nós quadramos $f (x)$ e então calculamos a média do quadrado ($−\pi$, $\pi$):
$$ \text { A média de } [ f ( x ) ] ^ { 2 } \text { é } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } [ f ( x ) ] ^ { 2 } d x $$
Quando enquadramos a série de Fourier em (**11.1**) obtemos muitos termos. Para evitar escrever um grande número deles, considere, em vez disso, que tipos de termos existem e quais são as médias dos diferentes tipos de termos. Primeiro, existem os quadrados dos termos individuais. Usando o fato de que a média do quadrado de um seno ou cosseno ao longo de um período é $\frac{1}{2}$, temos:
$$ \left. \begin{array} { l l l } { \text { A média de } ( \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ) ^ { 2 } } & { \text { é } } & { ( \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ { \text { A média de } ( a _ { n } \operatorname { cos } n x ) ^ { 2 } } & { \text { é } } & { a _ { n } ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \\ { \text { A média de} ( b _ { n } \operatorname { sin } n x ) ^ { 2 } } & { \text { é} } & { b _ { n } ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. $$
Depois, há termos de produto cruzado das formas $2 \cdot \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } a _ { n } \operatorname { cos } n x$, $ 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } b _ { n } \operatorname { sin } n x$ e $2 a _ { n } b _ { m } \operatorname { cos } n x \operatorname { sin } m x$ com $m \neq n$ (escrevemos $n$ no fator cosseno e $m$ no fator seno uma vez que cada termo seno deve ser multiplicado vezes a cada termo cosseno). Por (**5.2**), os valores médios dos termos de todos esses tipos são *zero*. Então nós temos
$$ \text { A média de} [ f ( x ) ] ^ { 2 } \text { (durante um período) } = ( \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { 1 } ^ { \infty } a _ { n } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { 1 } ^ { \infty } b _ { n } ^ { 2 } $$
Fazendo a identidade de Parseval:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{8\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx+\dfrac {a^{2}_{n}}{4\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx+\dfrac {b^{2}_{n}}{4\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{8\pi }2\pi +\dfrac {a^{2}_{n}}{4\pi }2\pi +\dfrac {b^{2}_{n}}{4\pi }2\pi
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{4}+\dfrac {a^{2}_{n}}{2}+\dfrac {b^{2}_{n}}{2}
\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{2}+a^{2}_{n}+b_n^{2}
\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{1}\left( a^{2}_{n}+b^{2}_{n}\right)
Generalizando para qualquer período:
\dfrac {1}{L }\int ^{L}_{-L}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{1}\left( a^{2}_{n}+b^{2}_{n}\right)
7 - Esboce o gráfico das funções abaixo e obtenha a série de Fourier correspondente:
a_{0}=\dfrac {1}{L}\int ^{L}_{-L}f\left( x\right) dx
a_{n}=\dfrac {1}{L}\int ^{L}_{-L}f\left( x\right) \cos \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) dx
b_{n}=\dfrac {1}{L}\int ^{L}_{-L}f\left( x\right) \sin \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) dx
f\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ a_{n}\cos \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) +b_{n}\sin \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) \right]
1. f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l r } { 1 , } & { - \pi < x < 0 } \\ { 0 , } & { 0 < x < \pi } \end{array} \right.
Por ser uma função impar não teremos termos a_n.
b_{n}=\dfrac {1}{\pi }\int ^{0}_{-\pi }1\sin nxdx+\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi }_{0}0\cdot \sin nxdx
b_{n}=-\dfrac {1}{\pi }\left[ \dfrac {\cos nx}{n}\right] ^{0}_{-\pi }=-\dfrac {1}{\pi n}+\dfrac {1}{\pi n}\cos \left( -\pi x\right)
b_{n}=\dfrac {1}{\pi n}\left( \cos \pi x-1\right)
a_{0}=\dfrac {1}{\pi }\int ^{0}_{-\pi }1dx+\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi }_{0}0dx
a_{0}=\dfrac {1}{\pi }\left[ x\right] ^{0}_{-\pi }=\dfrac {\pi }{\pi }=1
f\left( x\right) =\dfrac {1}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{\pi n}\left( \cos n\pi -1\right) \sin nx
1. s = 3 \operatorname { cos } 5 t
Podemos usar a relação \omega T=2\pi onde nosso \omega = 5 e o período desse função ocorre quando t = T, então:
5T=2\pi \Rightarrow T=\dfrac {2\pi }{5}
2. s = 2 \operatorname { sin } ( 4 t - 1 )
Aqui, seguiremos com a mesma relação do primeiro exercício, sabendo que -1 representa uma diferença de fase desta função, não alterando seu período, logo:
\omega T=2\pi \Rightarrow 4T=2\pi \Rightarrow T=\dfrac {2\pi }{4} \Rightarrow T=\dfrac {\pi }{2}
3. s = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { cos } ( \pi t - 8 )
\omega T=2\pi \Rightarrow \pi T=2\pi \Rightarrow T=2
4. s = 5 \operatorname { sin } ( t - \pi )
\omega T=2\pi \Rightarrow T=2\pi
7. z = 5 e ^ { i t }
Para melhor visualizar, podemos pensar na função z em sua forma 5 e ^ { i t } = 5\left( \cos t+i\sin t\right) , o que queremos analisar aqui, portanto, para definir o período dessa função, são os argumentos que acompanham i no expoente:
\omega T=2\pi \Rightarrow T=2\pi
8. z = 2 e ^ { - i t / 2 }
\omega T=2\pi \Rightarrow \dfrac {1}{2}T=2\pi \Rightarrow T=4\pi
9. z = 2 e ^ { i \pi t }
\omega T=2\pi \Rightarrow \pi T=2\pi \Rightarrow T=2
10. z = - 4 e ^ { i ( 2 t + 3 \pi ) }
\omega T=2\pi \Rightarrow 2T=2\pi \Rightarrow T=\pi
2 - Obtenha os coeficientes Cn da série de Fourier complexa definida por:
f ( x ) = \sum _ { - \infty } ^ { \infty } c _ { n } e ^ { i n \pi x / l }
*Dica: multiplique ambos os lados pela exponencial do lado direito, mas com argumento negativo e inteiro m, e integre em ambos os lados.*
Queremos ver como encontrar os coeficientes na forma complexa diretamente. Nós assumimos uma série
f ( x ) = c _ { 0 } + c _ { 1 } e ^ { i x } + c _ { - 1 } e ^ { - i x } + c _ { 2 } e ^ { 2 i x } + c _ { - 2 } e ^ { - 2 i x } + \ldots = \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } c _ { n } e ^ { i n x }
e tente encontrar os c_n . De (**5.4**) sabemos que o valor médio de e^{ikx} em (-\pi,\pi)
é *zero* quando k é um inteiro diferente de *zero*. Para encontrar c_0 , encontramos os valores médios dos termos em (7.2):
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) d x = c _ { 0 } \cdot \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d x + \left\{ \begin{array} { l } { \text { valores médios dos termos da } } \\ { \text { forma } e ^ { i k x } \text { com } k \text { um iteiro } \neq 0 } \end{array} = c _ { 0 } + 0 \right. ,
c _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) d x
Para encontrar c_n, multiplicamos (**7.2**) por e^{-inx} e novamente encontrar o valor médio de cada termo. Observe o sinal de menos no expoente. Ao calcular um coeficiente de \cos nx na equação (**5.1**), multiplicamos por \cos nx; mas aqui em encontrar o coeficiente cn de e^{inx}, nós multiplicamos pelo complexo conjugado e^{-inx}.
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) e ^ { - i n x } d x = c _ { 0 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } d x + c _ { 1 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } e ^ { i x } d x
+ c _ { - 1 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } e ^ { - i x } d x + \cdots
Os termos à direita são os valores médios de exponenciais e^{ikx}, onde os valores de k são inteiros. Portanto, todos esses termos são *zero*, exceto aquele em que k = 0; este é o termo que contém c_n. Nós então temos
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) e ^ { - i n x } d x = c _ { n } \cdot \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n x } e ^ { i n x } d x = c _ { n } \cdot \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d x = c _ { n } ,
c _ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) e ^ { - i n x } d x .
3 - Mostre que as funções sen e cos são ortogonais, isto é, mostre que:
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \operatorname { sin } m x \operatorname { cos } n x d x = 0
\int _ { - \pi } ^ { \pi } \operatorname { sin } m x \operatorname { cos } n x d x = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { e ^ { i m x } - e ^ { - i m x } } { 2 i } \cdot \frac { e ^ { i n x } + e ^ { - i n x } } { 2 } d x
Podemos ver o resultado sem realmente multiplicar isso. Todos os termos no produto são da forma e ^ { i k x } onde k é um inteiro \neq 0 (exceto para os termos de produtos cruzados quando n = m, e estes cancelam). Podemos mostrar que a integral de cada termo é zero:
\int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { i k x } d x = \frac { e ^ { i k x } } { i k } | _ { - \pi } ^ { \pi } = \frac { e ^ { i k \pi } - e ^ { - i k \pi } } { i k } = 0
porque e ^ { i k \pi } = e ^ { - i k \pi } = \operatorname { cos } k \pi (desde que \operatorname { sin } k \pi = 0).
4 - Mostre que:
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \operatorname { sin } m x \operatorname { sin } n x d x = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { m \neq n } \\ { \frac { 1 } { 2 } , } & { m = n \neq 0 } \\ { 0 , } & { m = n = 0 } \end{array} \right.
\sin mx \sin nx \Rightarrow \left( \dfrac {e^{imx}-e^{-imx}}{2i}\right) \left( \dfrac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right) \Rightarrow
\Rightarrow \dfrac {e^{ix\left( m+n\right) }-e^{ix\left( m-n\right) }-e^{-ix\left( m-n\right) }+e^{-ix\left( m+n\right) }}{-4} \Rightarrow
\Rightarrow \frac{\cos x\left( m+n\right) +i\sin \times \left( m+n\right) -\cos x\left( m-n\right) -i\sin x\left( m-n\right) -\cos x\left( m-n\right) +i\sin x\left( m-n\right) +\cos x\left( m+n\right) -i\sin x\left( m+n\right) }{-4}
\Rightarrow \dfrac {2\cos x\left( m+n\right) -2\cos x\left( m-n\right) }{-4} \Rightarrow
\Rightarrow \dfrac {\cos x\left( m-n\right) -\cos x\left( m+n\right) }{2} \Rightarrow
\Rightarrow \dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos x\left( m-n\right) -\cos x\left( m+n\right) }{2}dx \Rightarrow \dfrac {1}{2\pi }\left[ \int ^{\pi }_{-\pi }\frac{\cos x\left( m-n\right)}{2} dx-\int ^{\pi }_{-\pi }\frac{\cos x\left( m+n\right)}{2} dx\right]
Para m \neq n temos m + n = k e m - n = l, sendo k e l inteiros, então:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos lx}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos kx}{2}dx
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin lx}{2l}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi}
Para todo valor de l e k:
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin lx}{2l}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi} = 0
Para m = n \neq 0 temos m + n = k e m - n = 0, sendo k um inteiro, então:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos 0}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos kx}{2}dx
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {1}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos kx}{2}dx
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {x}{2}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi}
Para todo valor de k:
\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {x}{2}\right] ^{\pi }_{-\pi }-\dfrac {1}{2\pi }\left[ \dfrac {\sin kx}{2k}\right] ^{\pi}_{-\pi} = \frac{1}{2}
Para m = n = 0 temos m + n = 0 e m - n = 0, então:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos 0}{2}dx-\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\dfrac {\cos 0}{2}dx = 0
5 - Mostre que o coeficiente a_0/2 da expansão de f(x) em série de Fourier é seu valor médio:
f\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+a_{2}\cos x+a_{2}\cos 2x+\ldots +b_{1}\sin x+b_{2}\sin 2x+\ldots
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi }f\left( x\right) dx = \dfrac {a_{0}}{4\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx+\dfrac {a_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\cos xdx+\ldots +\dfrac {b_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\sin xdx
\dfrac {a_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\cos xdx+\ldots +\dfrac {b_{1}}{2\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }\sin xdx = 0
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi }f\left( x\right) dx = \dfrac {a_{0}}{4\pi }\left[ x\right] ^{\pi}_{-\pi}
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi }f\left( x\right) dx = \dfrac {a_{0}}{4\pi }2\pi = \dfrac{a_0}{2}
6 - Mostre a Identidade de Parseval:
\frac { 1 } { L } \int _ { - L } ^ { L } \{ f ( x ) \} ^ { 2 } d x = \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { n } ( a _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ^ { 2 } )
Vamos agora encontrar uma relação entre a média do quadrado (ou quadrado absoluto) de f (x) e os coeficientes da série de Fourier para f (x), supondo que \int _ { - \pi } ^ { \pi } | f ( x ) | ^ { 2 } d x é finito. O resultado é conhecido como o *teorema de Parseval ou a relação de completude*. Você deve entender que o ponto do teorema não é obter a média do quadrado de um dado f (x) usando sua série de Fourier. \[Dado $f (x)$, é fácil obter seu quadrado médio apenas fazendo a integração em (**11.2**) abaixo.] O ponto do teorema é mostrar a relação entre a média do quadrado de $ f (x) $ e os coeficientes de Fourier. Podemos derivar uma forma do teorema de Parseval de qualquer uma das várias expansões de Fourier que fizemos; vamos usar (**5.1**).
$$ f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } + \sum _ { 1 } ^ { \infty } a _ { n } \operatorname { cos } n x + \sum _ { 1 } ^ { \infty } b _ { n } \operatorname { sin } n x $$
Nós quadramos $f (x)$ e então calculamos a média do quadrado ($−\pi$, $\pi$):
$$ \text { A média de } [ f ( x ) ] ^ { 2 } \text { é } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } [ f ( x ) ] ^ { 2 } d x $$
Quando enquadramos a série de Fourier em (**11.1**) obtemos muitos termos. Para evitar escrever um grande número deles, considere, em vez disso, que tipos de termos existem e quais são as médias dos diferentes tipos de termos. Primeiro, existem os quadrados dos termos individuais. Usando o fato de que a média do quadrado de um seno ou cosseno ao longo de um período é $\frac{1}{2}$, temos:
$$ \left. \begin{array} { l l l } { \text { A média de } ( \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ) ^ { 2 } } & { \text { é } } & { ( \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ { \text { A média de } ( a _ { n } \operatorname { cos } n x ) ^ { 2 } } & { \text { é } } & { a _ { n } ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \\ { \text { A média de} ( b _ { n } \operatorname { sin } n x ) ^ { 2 } } & { \text { é} } & { b _ { n } ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. $$
Depois, há termos de produto cruzado das formas $2 \cdot \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } a _ { n } \operatorname { cos } n x$, $ 2 \cdot \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } b _ { n } \operatorname { sin } n x$ e $2 a _ { n } b _ { m } \operatorname { cos } n x \operatorname { sin } m x$ com $m \neq n$ (escrevemos $n$ no fator cosseno e $m$ no fator seno uma vez que cada termo seno deve ser multiplicado vezes a cada termo cosseno). Por (**5.2**), os valores médios dos termos de todos esses tipos são *zero*. Então nós temos
$$ \text { A média de} [ f ( x ) ] ^ { 2 } \text { (durante um período) } = ( \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { 1 } ^ { \infty } a _ { n } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { 1 } ^ { \infty } b _ { n } ^ { 2 } $$
Fazendo a identidade de Parseval:
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{8\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx+\dfrac {a^{2}_{n}}{4\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx+\dfrac {b^{2}_{n}}{4\pi }\int ^{\pi }_{-\pi }dx
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{8\pi }2\pi +\dfrac {a^{2}_{n}}{4\pi }2\pi +\dfrac {b^{2}_{n}}{4\pi }2\pi
\dfrac {1}{2\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{4}+\dfrac {a^{2}_{n}}{2}+\dfrac {b^{2}_{n}}{2}
\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{2}+a^{2}_{n}+b_n^{2}
\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi}_{-\pi}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{1}\left( a^{2}_{n}+b^{2}_{n}\right)
Generalizando para qualquer período:
\dfrac {1}{L }\int ^{L}_{-L}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}dx = \dfrac {a^{2}_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{1}\left( a^{2}_{n}+b^{2}_{n}\right)
7 - Esboce o gráfico das funções abaixo e obtenha a série de Fourier correspondente:
a_{0}=\dfrac {1}{L}\int ^{L}_{-L}f\left( x\right) dx
a_{n}=\dfrac {1}{L}\int ^{L}_{-L}f\left( x\right) \cos \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) dx
b_{n}=\dfrac {1}{L}\int ^{L}_{-L}f\left( x\right) \sin \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) dx
f\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left[ a_{n}\cos \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) +b_{n}\sin \left( \dfrac {n\pi x}{L}\right) \right]
1. f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l r } { 1 , } & { - \pi < x < 0 } \\ { 0 , } & { 0 < x < \pi } \end{array} \right.
Por ser uma função impar não teremos termos a_n.
b_{n}=\dfrac {1}{\pi }\int ^{0}_{-\pi }1\sin nxdx+\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi }_{0}0\cdot \sin nxdx
b_{n}=-\dfrac {1}{\pi }\left[ \dfrac {\cos nx}{n}\right] ^{0}_{-\pi }=-\dfrac {1}{\pi n}+\dfrac {1}{\pi n}\cos \left( -\pi x\right)
b_{n}=\dfrac {1}{\pi n}\left( \cos \pi x-1\right)
a_{0}=\dfrac {1}{\pi }\int ^{0}_{-\pi }1dx+\dfrac {1}{\pi }\int ^{\pi }_{0}0dx
a_{0}=\dfrac {1}{\pi }\left[ x\right] ^{0}_{-\pi }=\dfrac {\pi }{\pi }=1
f\left( x\right) =\dfrac {1}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{\pi n}\left( \cos n\pi -1\right) \sin nx
